پاسخ فعالیت صفحه 42 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 42 ریاضی دهم - بخش الف سلام! این فعالیت برای یادآوری و تثبیت تعاریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه است. همچنین، با کمک این تمرین، **رابطه‌ی اساسی مثلثات** را اثبات خواهیم کرد. ### **گام ۱: پیدا کردن اندازه‌ی وتر ($x$)** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ABC$ (قائم در $B$)، از **قضیه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کنیم: $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$ $$4^2 + 3^2 = x^2$$ $$16 + 9 = x^2$$ $$x^2 = 25 \Rightarrow x = AC = \mathbf{5}$$ ### **گام ۲: محاسبه‌ی نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی $\theta$ (زاویه‌ی $A$)** **اضلاع نسبت به $\theta$:** $\text{مقابل}=3$ ($BC$)، $\text{مجاور}=4$ ($AB$)، $\text{وتر}=5$ ($AC$). 1. **سینوس:** $$\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{3}{\mathbf{5}}$$ 2. **کسینوس:** $$\cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = \mathbf{0.8}$$ 3. **تانژانت:** $$\tan \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}} = \frac{3}{4} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \mathbf{0.75}$$ 4. **کتانژانت:** $$\cot \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}} = \frac{4}{3} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$ ### **گام ۳: محاسبه‌ی نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی $\alpha$ (زاویه‌ی $C$)** **اضلاع نسبت به $\alpha$:** $\text{مقابل}=4$ ($AB$)، $\text{مجاور}=3$ ($BC$)، $\text{وتر}=5$ ($AC$). 1. **سینوس:** $$\sin \alpha = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = \mathbf{0.8}$$ 2. **کسینوس:** $$\cos \alpha = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{3}{5} = \mathbf{0.6}$$ 3. **تانژانت:** $$\tan \alpha = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}} = \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$ 4. **کتانژانت:** $$\cot \alpha = \frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}} = \frac{3}{4} = \mathbf{0.75}$$ **نکته‌ی مهم:** چون $\theta$ و $\alpha$ متمم یکدیگرند ($\theta + \alpha = 90^\circ$)، می‌بینیم که $\sin \theta = \cos \alpha$ و $\cos \theta = \sin \alpha$ و $\tan \theta = \cot \alpha$ برقرار است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 42 ریاضی دهم - بخش پ این بخش به اثبات **رابطه‌ی اساسی مثلثات** (همانی که به رابطه‌ی فیثاغورسی هم معروف است) می‌پردازد. این رابطه، مهم‌ترین رابطه‌ی مثلثاتی است و در تمام محاسبات شما کاربرد خواهد داشت. ### **اثبات رابطه $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$** ما از دو تعریف و یک قانون پایه (فیثاغورس) استفاده می‌کنیم: 1. **تعریف $\sin \theta$ و $\cos \theta$:** $$\sin \theta = \frac{BC}{AC} \quad \text{و} \quad \cos \theta = \frac{AB}{AC}$$ 2. **قضیه‌ی فیثاغورس:** در $\triangle ABC$ داریم: $$\mathbf{AB^2 + BC^2 = AC^2}$$ **گام ۱: شروع از سمت چپ تساوی** $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left( \frac{BC}{AC} \right)^2 + \left( \frac{AB}{AC} \right)^2$$ **گام ۲: ساده‌سازی کسرها** $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{BC^2}{AC^2} + \frac{AB^2}{AC^2}$$ **گام ۳: جمع کردن کسرها (مخرج مشترک)** $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{BC^2 + AB^2}{AC^2}$$ **گام ۴: استفاده از فیثاغورس** با توجه به قضیه‌ی فیثاغورس، می‌دانیم که $BC^2 + AB^2$ برابر با $AC^2$ است. پس صورت کسر با مخرج کسر برابر است: $$\frac{BC^2 + AB^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2} = \mathbf{1}$$ **نتیجه‌گیری:** درستی رابطه‌ی $\mathbf{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$ اثبات شد. این رابطه مستقل از اندازه‌ی مثلث است و برای هر زاویه‌ای (در هر ربعی) برقرار است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 42 ریاضی دهم - بخش ب این بخش تایید عملی رابطه‌ی $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ با استفاده از اعدادی است که در بخش (الف) به دست آوردیم. این کار نشان می‌دهد که این رابطه در عمل نیز صدق می‌کند. ### **محاسبه $\mathbf{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$** از بخش (الف) می‌دانیم: * $\sin \theta = \frac{3}{5}$ * $\cos \theta = \frac{4}{5}$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \left( \frac{4}{5} \right)^2$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{25} + \frac{16}{25}$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{9 + 16}{25} = \frac{25}{25} = \mathbf{1}$$ ### **محاسبه $\mathbf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}$** از بخش (الف) می‌دانیم: * $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ * $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2$$ $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} + \frac{9}{25}$$ $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{16 + 9}{25} = \frac{25}{25} = \mathbf{1}$$ **نتیجه:** در هر دو حالت، حاصل جمع مربع سینوس و کسینوس برابر با $\mathbf{1}$ شد. این عدد همان‌طور که در قسمت (پ) اثبات شد، همواره برقرار است و نشان‌دهنده‌ی رابطه‌ی فیثاغورسی در مثلث قائم‌الزاویه است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 42 ریاضی دهم - بخش ت این بخش تأکیدی بر این نکته است که **رابطه‌ی اساسی مثلثات** برای **همه‌ی زوایای** حادّه در مثلث قائم‌الزاویه برقرار است، نه فقط زاویه‌ی $\theta$. ### **اثبات رابطه $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$** از تعاریف نسبت‌های مثلثاتی برای زاویه‌ی $\alpha$ (زاویه‌ی $C$) استفاده می‌کنیم: * $\sin \alpha = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{AB}{AC}$ * $\cos \alpha = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{BC}{AC}$ **گام ۱: شروع از سمت چپ تساوی** $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 + \left( \frac{BC}{AC} \right)^2$$ **گام ۲: جمع کردن کسرها** $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{AB^2 + BC^2}{AC^2}$$ **گام ۳: استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ABC$، جمع مربع دو ساق ($AB^2 + BC^2$) برابر با مربع وتر ($AC^2$) است: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{AC^2}{AC^2} = \mathbf{1}$$ **نتیجه‌گیری:** همانند $\theta$، برای $\alpha$ نیز رابطه‌ی $\mathbf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$ برقرار است و این اثبات کلیت و شمول این رابطه را تأیید می‌کند.